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方程式を解くために考え出された様々な工夫を、数学者たちの仕事をたどりながら古い順に紹介します。２次方程式の解を近似的に求める方法についても考えてみます。3次方程式の解の公式など特に重要なものについての詳しい内容と、5次方程式の研究から生まれたガロア理論の説明は次の竹内先生のお話に譲ります。

今年はエヴァリスト・ガロア生誕２００年に当たる記念すべき年です。
ガロア理論に関係した話題を以下のようにお話する予定です。

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昨夏の日本数学コンクールで出題された問題のひとつ「大きく切り開く」について、高校生や中学生がどのように考えたかについて解説します。この問題は、シュタイナーの最短路問題と関係しており、その最短路を極小曲面である石けん膜が教えてくれることを実験したいと思います。

一定の条件の下で得られるベストの結果を知るため、数学的な考え方が役に立つことがあります。最大・最小問題はその一例といえます。これについて、幾何的な解法の例や論理的な側面についてお話しします。

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中央アフリカに住むチョクエやルンダの人々は、部族に伝わる神々の伝承や動物達との交流を、砂地に絵を描きながら語り継いで来た。これをソナまたはルナという。ソナは一種の一筆書きであるが、数学的に興味深い図形である。講演では、ソナにひそむ数学の魅力を伝えたいと思う。

数学コンクールで出現された問題のうち多面体に関連するものをいくつか選んで解説し、関連した数学の話題を紹介します。

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複素数の概念は方程式の解の公式の発見に伴って整備されたものですが、ガウスによって幾何への応用が見いださ れて以来、様々な数理構造の研究に役立って来ました。その中から有名なものをいくつか選んで紹介します。

代数学の基本定理は、その名前からは想像しがたいが、その証明は本質的にトポロジーである。それの高度な一般化として、１９５８年に解決した可除代数の決定問題がある。 実ベクトル空間に入る「複素数的な体系」を分類しよう、という問題である。その解決は、非常に深いトポロジーによっている。このあたりから、話題を選んでお話したい。

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原子くらい小さな世界になると日常経験する常識が通じなくなってしまいます。そのような世界を記述するための物理の分野として量子力学があります。そこで、今回の話の内容は量子力学の入門としてファインマンによって導入された経路積分の概念を物理の立場で紹介します。簡単な計算を通してこの不思議な世界を感じてもらいたいと思います。

電車の窓の外の風景の移り変わりを観察することにより、電車がどう動いているかを知ることができます。この考えを発展させて幾何学を例題を解きながらご紹介します。

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概要：例えば（中身の詰まっていない）ゴムボールを"赤道部分"で２つの"お椀"に切り分けてください。"お椀"を強引に平らにすると円盤になります。この現象は，位相幾何学（柔らかい幾何学）における２次元球面（原点からの距離が１である３次元空間内の点の集合）という曲面の１つの捉え方を表しています。
さて，この発想は，ちょっと変わった空想の世界に導いてくれます。例えば，"２次元人"（平面内にしか住めない知的生命体）がいたとします。彼らは，縦・横・高さの広がりを持つ２次元球面の全体像を直接見ることはできません。
そこで２次元人に『２つの円盤をその淵で貼り合わせれば２次元球面ができる！』と"３次元人のお告げ"として声をかけてあげましょう。しかし，この貼り合わせは平面内ではどう見ても無理ですから，全く信用しない２次元人も多いでしょう。
そこで，この講演では，２次元人に，この『貼り合わせ』を理解してもらえる（？）様な１つのアイデアを考えたいと思います（皆さんも考えてきてください）。
すると，４次元空間において，２つの中身が詰まったボールを，その淵の２次元球面で"きれいに"貼り合わせることも可能になりますし，完成した物体が３次元球面（原点からの距離が１である４次元空間内の点の集合）になることが視える様になります。
この貼り合わせは，３次元空間では，どう見ても無理ですから信じ難いことですが，"４次元人のお告げ"が聞こえる様，まずは２次元人の気持ちになって議論してみましょう。

概要：三角関数の基本的な性質としてよく知られている加法定理をとりあげます。その歴史や平面幾何の問題への応用の話からはじめて、18世紀に発見された新しい視点からの加法定理の言い換えと、それを発端として展開した楕円関数の理論の一端を紹介します。

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概要：対数関数は高校で習う関数ですが、この関数は現代の数学のいろいろな場面で現れます。この講演ではその中からいくつかの話題を選び紹介したいと思います。

概要：自然数が表すものは、通常は「個数」と「順序」の二種類とされていますが、「分割」もそうだという説があります。数学者で仏教にも造詣の深い藤本坦孝氏の論説など、いくつかの「自然数論」を調べてお話します。