※このイベントは終了しました。

離れた二つの場所にある箱の中身の片方を「見る」事で、もう片方の箱に物理的な一切の操作を加える事無く、中身を自由に決められる－量子力学の世界では、古典力学の世界では起きないこうした「もつれ現象」がしばしば起こります。このような「もつれ」を系が「どのくらい持っているか」を如何にして測るか、という研究が、この十数年で急速に進み、「量子もつれ」が物理の重要な量であるエントロピーと深い関係を持つ事が分かってきました。同時に、「量子もつれ」を使うことで、それなしではできない様々な操作が行える、ということも分かってきました。こうした量子もつれの測り方と、その応用についてお話ししたいと思います。

執筆中の著書「多変数関数論の建設」(仮題）の第一章と第二章の原稿に沿って、大数学者岡潔(1901-78)の数学を、第七論文「二三の算法的概念について」の結論を中心に、論文にまつわるエピソードを交えながら紹介します。

※このイベントは終了しました。

整数全体の集合のように足し算と掛け算の定義された集合を環といいます。引き算は足し算の逆元とみなします。割り算は必ずしも出来なくてもかまいません。実数を成分とする２次正方行列全体の集合を考えると、和や積を定めることができ環になります。整数は積に関する交換法則が成り立ちますが、行列は成り立ちません。このように、環によって積の仕組みが異なることもあります。環の仕組みを考える際、「有限であること」を組み込んでおくと、便利なことがあります。そのような有限性の条件を満たす環の代表として、アルチン環やネーター環という環があります。今回は2次の正方行列を題材として、それらの代数的な仕組みやアルチン性を調べてみようと思います。

「数学セミナー」に連載中の「ポアンカレとの散策」の最終回、「科学の原動力」の原稿に沿って、ポアンカレの数学観、科学観、そして倫理観についてお話しします。数学の話題としては、曲面上の閉測地線の本数についてのポアンカレ予想とその解決について調べてみます。これは惑星の軌道の安定性に関わる問題です。

※このイベントは終了しました。

微分積分学が作られた瞬間に次の問題がヨハン・ベルヌーイによって提出された「問題(最速降下線）　A地点からB地点へもっとも最短時間で降りられるすべり台がスリルがありそう、その形を求めてみよう」（こんなことを言ったかどうかはわかりません）。即座にニュートン、ライプ ニッツ、ヤコブ・ベルヌーイ、ロピタルによってそのすべり台の形はCycloidであることが示されている。リーマン幾何では　 「Cycloidは曲がった世界の"直線"である」　となります。

今年は１９世紀後半から２０世紀初頭にかけて大活躍した数学者ポアンカレの没後１００年ということで、ポアンカレの数学についての著作がいくつか出ました。ポアンカレは、位相幾何学の基礎を築いたことで有名ですが、数理物理だけでも超一流の業績を上げています。今回はポアンカレが一般向けに書いた「科学の価値」をひもときながら、解析学や数理物理で基本的な「ポアンカレの不等式」をめぐる四方山話をしたいと思います。

※このイベントは終了しました。

今年のジュニア数学コンクールの第３問は、与えられた凸多角形に含まれる三角形のなかで面積が最大のものについての問題でした。一般に、与えられた条件の中である量を最大または最小にするという問題は実用上非常に重要で、数学的にも内容の深い理論につながっています。この講演では、コンクールの問題をはじめとする幾つかの最大値問題をとりあげ、その本質を探ります。

今年のノーベル経済学賞に輝いたシャプレイは数学者でもあり、学位論文で導入したシャプレイ値は「安定配分」の決定に有用で、ゲーム理論で重要です。今回は経済学者のロスとともに、理論と実践両面の業績が評価されました。実践面で評価されたのはマーケットデザインにおけるマッチング問題の実効的な解決法ですが、その先駆けとなる論文は、シャプレイが1962年に経済学者のゲイルと共同執筆してアメリカの数学専門誌に載せたものです。二つの定理とその証明からなるこの論文を何とか読んでみたいと思います。

※このイベントは終了しました。

距離といえば普通は二つの点がどれだけ互いに離れているかを表す数で、平面上では線分の長さ、球面上では円弧の長さになります。大きさのある二つの物体の間の距離だと、一番近い２点をとって測ります。しかし、このやり方を単純に拡げただけでは不便な場合もあります。そのような例をあげながら、いろいろな距離の測り方について考えてみます。

※このイベントは終了しました。

数 0,1,2,..., 47,48 を７×７の正方形のますに並べて縦横斜めの和がどこでも同じになるものを７×７の魔方陣といいます。その和は、（0＋1＋・・・＋48)÷7=168 になります。ルーペとは虫めがねのことです。方陣のルーペ性とは、方陣のどこに２×２の小正方形のますにある４個の数を取っても（そこに虫めがねを当てても）それらの数の和 A は、その正方形から右に１つ下に２つ離れたと ころ に ある横３個の数の和を B とすれば、A=168-B と計算できるという性質です。ここで、小正方形とか、横３個の形が７×７の正方形からはみ出たときは、境界で切り取って反対側にくっつけて考えます。この講演では、ルーペ方陣を作る簡単な方法を話します。また、ルーペ方陣が次のおもしろい性質をもっていることについても話します。６種類の平行四辺形があり、それを方陣のどこにおいても、それぞれの対頂点にある数の和同士が等しくなる。

前回は、関数の世界にもワイアシュトラスの乗積定理という素因数分解があることを述べました。これは関数を基本的な要素に分解する話でした。今度はそれとは逆に、要素をつないで関数を作る話です。これもワイアシュトラスの理論の一部なので背景の説明が長くなりますが、結論は簡単です。この問題は多変数関数論の発展のきっかけとなりました。それについても述べたいと思います。

※このイベントは終了しました。

わたしたちの身の回りのものは、原子や電子、さらには、光の粒子である光子などの、波動性を持つ粒子が結合して成り立っています。例えば、光子のもつ波動の向きは、サングラスや携帯電話の画面に使われる偏光板によって、調べることができます。このように波動性と粒子性の双方の性質を合わせ持つ性質は、量子性と呼ばれ、これまでの情報処理では、その不思議な性質から情報処理を乱すものとして避けられていました。しかし、この性質を積極的に用いることで、これまで情報処理では、実現できなかった情報処理が可能となることが分かってきました。今回の数理ウェーブではこのような情報処理の1つとして近年、注目を浴びている量子暗号について紹介します。量子暗号では、情報の流出そのものを防ぐことが可能であるため、どのような強力なコンピュータが現れても盗聴されることはありません。今回は、量子暗号の原理について説明し、偏光板を使った道具で、模擬的に量子暗号の実験を再現します。この模擬実験を通じて、量子暗号の原理について体験します。　　（５月に著書「量子情報理論入門」を出版予定）

※このイベントは終了しました。

分数が循環小数展開されることはかなり知られたことであるが、その性質について踏み込んで書いた教科書は一冊しか知らない。例えば、1/7=0.142857...で142857が循環するが142857を分割して加えると　142+857=999　14+28+57=99　1+4+2+8+5+7=9x3　となることなど殆ど注意されていない。循環小数展開についていくつかの性質を述べた後、時間があれば分数の循環小数展開といった簡単なことでも、見方によっては現在得られている最高の結果をはるかに超えた予想にまで到達することを紹介する。

すべての自然数が素数の積に分解できる(素因数分解)ということは数についての深遠な理論の出発点です。分数の部分分数分解はこれと対を成しています。多項式の因数分解の公式や指数関数や三角関数についてのいくつかの公式も、素因数分解や部分分数分解と似たものと思え、19世紀にはその視点から関数の理論の基礎が作られました。岡潔の多変数関数論はそれをさらに発展させたものです。このようなことを例を中心にお話しします。